Wienerprosessia

Wiener-prosessia, tunnettu myös nimellä Brownian motion, on klassinen stokastinen prosessi, jota käytetään mallinnuksessa, kun halutaan kuvata jatkuvaa satunnaista hajontaa. Prosessi W_t määritellään siten, että t ≥ 0, W_0 = 0, ja sen ominaisuudet ovat: polut ovat lähes varmasti jatkuvia; W_t - W_s on normaalijakauma N(0, t-s) kun 0 ≤ s < t, ja incrementit ovat riippumattomia sekä aika-stationaaria, eli jakauma riippuu vain erosta t-s. Lisäksi Cov(W_s, W_t) = min(s, t). Standardin Wiener-prosessin varianssi kasvaa lineaarisesti ajassa.

Wiener-prosessia pidetään Gaussian-prosessina, martingaalina ja Markov-prosessina. Sen polut ovat yleensä epäjatkuvasti käyttäytyviä ja lähes varmuudella Hölder-kovia alle arvojärjestyksessä 1/2. Prosessin konstruktio voidaan tehdä usealla tavalla, esimerkiksi rajoittamalla tasalti antavaa random walkia (Donskerin lause) tai käyttämällä kolmogorovin rakennusmenetelmiä.

Wiener-prosessilla on keskeinen rooli stokastisessa laskennassa. Se toimii ajuri-äänisenä kohinana Ito-kalkyylissä ja stokastisissa differentiaaliyhtälöissä. Yleisiä sovelluksia ovat rahoitusmallit kuten osakemarkkinoiden dynaamiikka Black–Scholes -mallissa, fysiikka ja insinööritieteet, sekä monimutkaisempien prosessien määrittely geometrisen Brownin liikkeen avulla. Yleinen muoto on dX_t = μ dt + σ dW_t, jossa μ ja σ kuvaavat driftia ja volatiliteettia; standardimuodossaan μ=0 ja σ=1, jolloin dW_t kuvaa satunnaista hajontaa. Wiener-prosessia käytetään usein myös Brownian-häiriön synteesinä monissa mallinnuksissa.