Weibulljakautuma

Weibulljakautuma on jatkuva todennäköisyysjako, jota käytetään erityisesti luotettavuustekniikassa ja elinajan analyysissä sekä materiaalien vianmäärityksessä. Jakaumalla on kaksi positiivista parametria: muoto-parameteri k > 0 ja mittakaava-parameteri λ > 0.

Tiheysfunktio ja kumulatiivinen jakaumafunktio ovat seuraavat. Tiheys f(t) = (k/λ) (t/λ)^{k-1} exp(-(t/λ)^k) for t ≥ 0. Kumulatiivinen jakaumafunktio F(t) = 1 − exp(-(t/λ)^k) for t ≥ 0. Elossa- eli selviytymisen funktio on S(t) = exp(-(t/λ)^k).

Ominaisuudet: Jakauman odotusarvo on E[T] = λ Γ(1 + 1/k), ja varianssi Var(T) = λ^2 [Γ(1 + 2/k) − Γ(1 + 1/k)^2]. Hazard-funktio h(t) = f(t)/S(t) = (k/λ) (t/λ)^{k-1}. Tämä funktio kasvaa, kun k > 1; se on vakio, kun k = 1; ja se pienenee, kun k < 1.

Erikoistapaukset ja yhteydet: Kun k = 1, Weibulljakautuma vähenee eksponentialijakaumaksi (odotusarvo λ). Kun k = 2 ja λ valitaan siten, että λ = σ√2, jakautuma vastaa Rayleigh-jakoa.

Sovellukset: käytetään laajasti luotettavuuden tutkimuksessa, elinajan analyysissä sekä tuote- ja materiaalitesteissä. Weibulljakautuma soveltuu hyvin sekä kasvavan että laskevan vianriskin mallintamiseen.

Estimointi ja käytäntö: parametrit voidaan estimata maksimilaikullisesti tai hetkien mukaan, ja tuloksia voidaan esittää Weibull-pylväsdiagrammilla. Yleisiä ohjelmistotyökaluja ovat R, Pythonin SciPy sekä Minitab.