Weibulljakauma

Weibulljakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, jota käytetään laajalti elämä- ja luotettavuusanalyysissä. Jakauma määritellään kahdella parametruilla: muoto-parameteri k > 0 ja mitta-parameteri λ > 0. Tiheysfunktio on f(t) = (k/λ) (t/λ)^{k-1} exp(-(t/λ)^k) for t ≥ 0, ja kertymäfunktio F(t) = 1 - exp(-(t/λ)^k) for t ≥ 0.

Ominaisuuksia. Jakauman odotusarvo on μ = λ Γ(1 + 1/k) ja varianssi Var = λ^2 [Γ(1 + 2/k) - Γ(1 + 1/k)^2], missä Γ on gammafunktio. Jakauman reuna- ja muoto-ominaisuudet määrittävät hajautuvuuden: moodi m = λ ((k-1)/k)^{1/k} kun k > 1. Hazar­difunktio on h(t) = (k/λ) (t/λ)^{k-1}, joka on kasvava, jos k > 1, vähenevä, jos k < 1, ja vakio, jos k = 1. Jakauma on tukea t ≥ 0.

Suhteet muihin jakaumiin. Kun k = 1, Weibulljakauma supistuu eksponentiaalijakaumaksi. Kun taas k = 2 ja λ valittu oikein, vastaava muoto liittyy Rayleigh-jakaumaan.

Sovellukset. Se on suosittu malli elinajalle, tuotteen toimivuudelle ja viallisuustilanteille sekä kunnossapidon suunnittelulle. Sitä hyödynnetään myös biomedisiin tutkimuksiin ja joidenkin ympäristötilastojen extreme-arvojen lähestymistapoihin.

Arviointi ja estimaatit. Parametreja estimaaankin tyypillisesti maksimihajonnan menetelmällä (MLE) tai momenttien menetelmällä; Bayesian lähestymistavat ovat myös käytössä. Hyvä sovitus arvioidaan visuaalisesti ja tilastollisin testein.