Virtausfunktio

Virtausfunktio on vektorikenttä, joka kertoo, miten jokaisen pisteen paikka muuttuu ajan kuluessa. Se on keskeinen käsite sekä matemaattisessa dynamiikassa että fluididynamiikassa, jossa se vastaa nopeuskenttää ja partikkelien liikkeen ohjaavaa sekä aikasuuntaista järjestystä.

Matemaattisesti virtausfunktio X määrittelee nopeuden X(x) kussakin pisteessä x M:llä. Tämän perusteella syntyy virtaus φ_t: M → M, joka ratkaisee ODE:n d/dt φ_t(x) = X(φ_t(x)) ja aloitusehdon φ_0 = id. Kun X on riittävän säännöllinen ja täydellinen, virtaus on määritelty kaikkialla aikavälillä t ∈ R, ja se muodostaa yhden-parameterisen ryhmän: φ_{t+s} = φ_t ∘ φ_s.

Ominaisuudet: virtaus on paikallisesti olemassa ja yksikäsitteisesti määritelty, kun X täyttää riittävän regulaariuden kriteerit (esim. Lipschitz-ehdon). Täydellinen X tuottaa globaalin virran. Virran avulla voidaan tarkastella muokkausominaisuuksia kuten Lie-kuljetusta: jokaiselle funktiolle f M → R pätee d/dt f(φ_t(x)) = (Xf)(φ_t(x)).

Fyysiset sovellukset: virtausfunktio kuvaa kappaleiden seuraamista virtauksessa. Esimerkiksi ruumiin liikettä voidaan kuvata polkuna γ(t) = φ_t(x0), joka täyttää γ'(t) = X(γ(t)). Fluididynamiikassa aika- ja tilan riippuva nopeuskenttä u(x,t) johtaa polkujen ratkaisemiseen dγ/dt = u(γ(t), t).

Terminologia: virtausfunktio viittaa usein vektorikenttään, joka määrittelee nopeuden tai virtaussuuntauksen. Sillä viitataan myös flowhin ja flow-kehykseen liittyviin käsitteisiin, kuten diffeomorfismiin ja yhden parametrin ryhmään.