vektorikenttään

Vektorikenttä on matemaattinen käsite, jossa jokaiselle kentän määrittelyalueen pisteelle annetaan vektori. Tyypillisesti alue on avointa joukkoa U ⊆ R^n, ja kenttä F määritellään karttana F: U → R^n siten, että x ↦ F(x) = (F1(x),…,Fn(x)). Näin kenttä voi antaa esimerkiksi nopeuden tai suunnan jokaisessa pisteessä.

Vektorikenttiä luokitellaan säännöllisyyden mukaan: ne voivat olla jatkuvia, derivoituvia tai sileitä (esim. C^k). Esimerkkejä: vakio kenttä F(x) = c antaa samat vektorit kaikille pisteille; radiaalinen kenttä F(x) = x antaa vektorin samalla kuin pistemäisen paikan suunta ja mitta; kiertokenttä, kuten F(x,y) = (−y, x) 2D:ssä, kiertää karttaa vastapäivään.

Vektorikentän derivaattoja tutkitaan useilla operaatioilla. Divergenssi div F mittaa, kuinka paljon kenttä lähtee pisteestä (div F = ∑ ∂Fi/∂xi). Curl F kuvaa kiertoa kolmiulotteisessa tilassa (curl F = ∇ × F). Jacobian JF(x) antaa kentän muutoksen lineaarisena kuvana kohdassa x. Riittävän säännöllisellä F:llä voidaan ratkaista dx/dt = F(x) ja määritellä virtaus φ_t, joka kuvaa pisteen liikettä ajan mukaan.

Käyttökohteita ovat fysiikka ja tekniikka, joissa vektorikentät kuten nopeus- ja voima- sekä sähkö- ja magneettikentät ovat keskeisiä, sekä dynamiikka ja kuvantaminen. Geometriassa vektorikenttä on tangenttivektorijoukon leikkauspisteen eli tangentinteorian keskeinen käsite; teoreemat kuten Poincaré-Hopf yhdistävät nollapisteet ja kentän topologiaan.