Virhefunktiot

Virhefunktiot ovat matemaattisia funktioita, joita käytetään muun muassa todennäköisyyslaskennassa, tilastotieteessä ja diffuusionmallinnuksessa. Yleisimmät virhefunktiot ovat erf ja erfc. Erf määritellään seuraavasti: erf(x) = (2/√π) ∫_0^x e^{-t^2} dt. Erfc on sen komplementti: erfc(x) = 1 − erf(x) = (2/√π) ∫_x^∞ e^{-t^2} dt. Funktiot ovat määriteltyjä koko reaalilukujen alueella; erf(-x) = −erf(x), ja erfc(-x) = 2 − erfc(x). Derivaatta on erf'(x) = (2/√π) e^{-x^2}.

Ominaisuudet ja representaatio: Erfilla on Maclaurin-sarja erf(x) = (2/√π) [x − x^3/3 + x^5/10 − …]. Sen käyttäminen liittyy läheisesti normaalijakaumaan: Φ(x) = (1/2)[1 + erf(x/√2)], jossa Φ on N(0,1) -jakauman kertymäfunktio. Taili- eli yliotoksen laskussa erfc esiintyy muodossa P(Z > x) = (1/2) erfc(x/√2). Suurilla x arvoilla erfc(x) voidaan likimain oksidoida erfc(x) ~ e^{-x^2}/(√π x).

Sovellukset ja yleistykset: Virhefunktioita käytetään muun muassa diffuusion ratkaisuissa, lämpötilan ja epävarmuuden mallintamisessa sekä tilastollisessa normaalijakaumien empaattisuudessa. Yleistyksiä ovat esimerkiksi kompleksinen Faddeeva-funktio ja Dawsonin integraali, joita tarvitaan laajemmissa signaalinkäsittely- ja fysikaalisissa sovelluksissa. Virhefunktiot tarjoavat kätevän tavan kuvata normaalijakauman kumulatiivisia ja äärioletuksia sekä yhdistää integroituja e^{-t^2}-kertoimia laajoihin laskuihin.