Verrannaismuunnot

Verrannaismuunnnot ovat geometrisia muunnoksia, jotka muokkaavat pistejoukkoja siten, että muoto säilyy, mutta koko voi muuttua. Ne voidaan esittää muodossa f(x) = a + s R x, jossa a on siirtovektori, s > 0 on skaalaustekijä ja R on ortogonaalinen matriisi (R^T R = I), joka edustaa kiertoa ja/tai heijastusta. Tämänkaltaiset muunnokset ovat yhdistelmiä siirroista, pyörimisestä ja/tai peilaamisesta sekä uniformista skaalauksesta.

Ominaisuudet: Verrannaismuunnokset säilyttävät kulmat ja suhteelliset mittasuhteet. Kaikki etäisyydet skaalautuvat kertoimella s, eli for any x ja y, ||f(x) - f(y)|| = s ||x - y||. Lineaariset muodot ja muodot, jotka ovat samankaltaisia alkuperäisellään, pysyvät samankaltaisina muunnoksen jälkeen. Suorat linjat mapataan toisiin suoriin linjoihin, ja parallelismi säilyy.

Rakenne ja ryhmä: Verrannaismuunnokset muodostavat ryhmän, joka on Euclidean-ryhmän laajennus. Ne ovat koostumuksia, joissa on kiertoaiheisia ja/tai peilaavia osia sekä skaalausta ja siirtoa; kaikkien tällaisia muunnoksia voidaan määritellä edellä olevan muodon avulla. Kertominen on jälleen verrannaismuunnos, ja jokaisella muunnoksella on käänteinen muunnos.

Sovellukset: Verrannaismuunnoksia käytetään laajasti geometriassa, tietokonegrafiikassa, kuvantunnistuksessa sekä kohteiden mittakaavojen vertailussa ja analysoinnissa, kun halutaan tarkastella kohteiden muodon lisäksi niiden mittasuhteita.