Vektorproduktet

Vektorproduktet, ofte kalt krysproduktet, er en binær operasjon som tar to vektorer i tre-dimensjonalt rom og returnerer en tredje vektor som er vinkelrett til begge de opprinnelige. Størrelsen til vektorproduktet er lik arealet av parallelogrammet som dannes av de to vektorene.

For a = (a1, a2, a3) og b = (b1, b2, b3) er a × b = (a2 b3 − a3 b2, a3 b1 − a1 b3, a1 b2 − a2 b1). Retningsbestemmelsen følger høyrehånden: hvis tommelen peker i retning av a og fingrene peker mot b, peker tommelen i retning av a × b.

Vektorproduktet er antisyklisk: a × b = − b × a. Det er bilineært og vinkelrett på både a og b. Størrelsen er |a × b| = |a||b| sin θ, der θ er vinkelen mellom a og b. Det er også sant at |a × b|^2 = |a|^2|b|^2 − (a · b)^2.

Den skalariske tredobbelte produktet a · (b × c) er lik volumet av parallelepipedet med kanter a, b og c, og forblir invariant under sykliske permutasjoner. a × a = 0.

Bruksområder inkluderer beregning av rotasjon og orientering i fysikk og datagrafikk: dreiemomentet τ = r × F og vinkelmomentet L = r × p, flatenormale i grafikk, samt elektromagnetisme F = q v × B.

Begrensning og generaliseringer: Den vanlige kryssproduktoperasjonen er definert i tre dimensjoner. Det finnes andre lignende operasjoner i høyere dimensjoner (for eksempel wedge-produkt), og i spesielle tilfeller i sju dimensjoner ved hjelp av oktonions, men den enkle formen er unik for tre dimensjoner.