Vektorijärjestelmiä

Vektorijärjestelmiä ovat matemaattisia rakenteita, jotka koostuvat joukosta vektoreita sekä kahdesta operaatiosta: vektorien yhteenlaskusta ja skalaarilla kertomisesta. Nämä operaatiot noudattavat tiettyjä aksioomia, jotka takaavat järjestelmän johdonmukaisuuden ja ennustettavuuden. Yleisimpiä aksioomia ovat sulkeutuvuus yhteen- ja kertolaskun suhteen, vaihdannaisuus ja liitännäisyys yhteenlaskun suhteen, sekä osittelulait ja neutraalialkioiden olemassaolo skalaarilla kertomisen suhteen.

Vektorijärjestelmät ovat perustavanlaatuisia monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Niitä käytetään kuvaamaan muun muassa fysikaalisia suureita kuten voimaa, nopeutta ja siirtymää. Lineaarialgebrassa vektorijärjestelmät ovat keskeisiä käsitteitä, ja niitä hyödynnetään esimerkiksi matriisien ja lineaarikuvausten tutkimisessa. Vektorijärjestelmän ulottuvuus määritellään lineaarisesti riippumattomien kantavektorien lukumäärällä.

Tärkeä osa vektorijärjestelmiä ovat lineaarisesti riippumattomat vektorit, joita ei voida esittää muiden järjestelmän vektoreiden lineaarikombinaationa. Kantavektorit muodostavat vektorijoukon kannan, ja jokainen järjestelmän vektori voidaan esittää yksikäsitteisesti kannan vektorien lineaarikombinaationa. Vektorijärjestelmät voivat olla reaaliluku- tai kompleksilukukertoimisia, riippuen käytettyjen skalaarien joukosta.