Variatsioonimeetodite

Variatsioonimeetodid on kvantitatiivsete meetodite rühm, mida kasutatakse optimeerimisülesannete lahendamiseks. Need meetodid põhinevad ideel leida funktsionaali miinimum või maksimum, mis on sageli seotud diferentsiaalvõrranditega. Variatsioonimeetodite põhimõte seisneb selles, et otsitakse lahendust, mis teeb teatud funktsionaali ekstremaalväärtuseks. See on eriti kasulik füüsikas ja inseneriteadustes, kus paljud probleemid saab formuleerida variatsioonikujul.

Üks tuntumaid variatsioonimeetodeid on variatsiooniprintsiip, mille kohaselt looduslikud süsteemid arenevad selliselt, et teatud füüsikaline suur, näiteks toiming, on minimaalne. Lagrange'i võrrandid on selle printsiibi matemaatiline väljendus. Variatsioonimeetodite abil saab tuletada paljusid füüsikaseadusi, näiteks mehaanika põhiseadusi ja Maxwelli võrrandeid.

Neid meetodeid kasutatakse ka arvutuslikus rakenduses, eriti numbriliste lahenduste leidmiseks diferentsiaalvõrranditele. Näiteks lõplike elementide meetod (FEM) on populaarne arvutuslik tehnika, mis tugineb variatsiooniprintsiipidele. FEM jagab keerulise geomeetrilise piirkonna väiksemateks lihtsamateks elementideks ja otsib lahendust nende elementide peal.

Variatsioonimeetodite eeliseks on nende üldisus ja võime käsitleda keerulisi piirtingimusi. Samuti võimaldavad need sageli tuletada probleemi autonoomsemat ja füüsiliselt intuitiivsemat kirjeldust võrreldes otseste meetoditega. Seetõttu on variatsioonimeetodid oluline tööriist mitmesugustes teadus- ja insenerivaldkondades.