Variatsioonarvutus

Variatsioonarvutus on matemaatikavaldkond, mis tegeleb funktsioonide funktsionaalide ekstreemide leidmisega. Funktsionaal on matemaatiline objekt, mis võtab sisendiks funktsiooni ja tagastab skalaarväärtuse. Variatsioonarvutus on tuttav paljudest füüsika, inseneriteaduse ja majandusteaduse probleemidest, kus otsitakse minimaalset või maksimaalset suurust, näiteks minimaalne pind, minimaalne aeg või maksimaalne kasum.

Peamine tööriist variatsioonarvutuses on Euleri-Lagrange'i võrrand. See võrrand võimaldab leida funktsiooni, mis minimeerib või maksimeerib antud funktsionaali. Sageli on otsitav funktsioon teatud diferentiaalvõrrandi lahend. Variatsioonarvutust kasutatakse palju ka kaasaegses füüsikas, näiteks kvantväljateoorias ja üldrelatiivsusteoorias.

Teine oluline kontseptsioon on Lagrangiaani mehaanika, kus füüsikalise süsteemi dünaamikat kirjeldatakse Lagrangiaani abil, mis on süsteemi kineetilise ja potentsiaalse energia vahe. Süsteemi liikumisvõrrandid saadakse seejärel Euleri-Lagrange'i võrrandi rakendamisel Lagrangiaanile. Variatsiooniprintsiibid, nagu minimaalset toimingu printsiip, on fundamentaalsed paljudes füüsikateooriates.