Utvalgsmiddelverdien

Utvalgsmiddelverdien er en statistikk som brukes til å estimere populasjonsmiddelverdien. Gitt et utvalg X1, X2, ..., Xn av uavhengige og identisk fordelt observasjoner fra en tilfeldig variabel X med forventning μ og varians σ^2, er utvalgsmiddelverdien definert som X̄ = (1/n) ∑_{i=1}^n X_i. Den brukes som et punktestimat av μ.

Egenskaper: utvalgsmiddelverdien har forventning E[X̄] = μ, hvilket betyr at den gir riktig forventning når prøvestørrelsen er stor nok. Variansen er Var(X̄) = σ^2 / n, og variansen reduseres med økende prøvestørrelse. Når σ^2 er ukjent, brukes ofte s^2 som estimat av σ^2, og konfidensintervaller baseres på t-distribusjonen: μ ≈ X̄ ± t_{α/2, n-1} · s / √n. Dersom σ^2 er kjent, brukes normalfordelingen i stedet.

Fordeler og begrensninger: utvalgsmiddelverdien er ofte det mest pålitelige og enkle estimatet for μ under standard antakelser (iid observasjoner, finite første og andre momenter). Den er imidlertid følsom for uteliggere og avhenger av at dataene er representative for populasjonen.

Distribusjon og konsekvenser: i store prøver følger X̄ sentralgrenseteoremet og er omtrent normaal fordelt med forventning μ og varians σ^2 / n. LLN (lov om store tall) sier at X̄ konvergerer mot μ når n øker.

Bruksområde: sentralt i inferens om populasjonsmiddelverdien, i hypotesetesting og konfidensintervalldannelse. Mer generelt er X̄ den mest brukte og grunnleggende komponenten i mange statistiske metoder.