Uniformiteetin

Uniformiteetti (uniformity) topologiassa on rakenne, joka määrittelee, miten pisteet X voivat olla toisiinsa nähden läheisiä ilman erillistä mittaa. Se on joukko X×X:n osajoukkoja, joita kutsutaan ympäristöiksi tai entourees. Uniformiteetin avulla voidaan käsitellä yhtenäistä läheisyyttä, jolloin voidaan määritellä yhtenäinen jatkuvuus, yhtenäinen konvergenssi ja muut vastaavat ilmiöt.

Uniformiteetin perusominaisuudet: jokainen ympäristö sisältää diagonaaliparin Δ = { (x,x) : x ∈ X }, jos U on ympäristö, niin sen inverse U^{-1} = { (y,x) : (x,y) ∈ U } on myös ympäristö, sekä kaikilla U,V ympäristöillä U ∩ V on ympäristö. Lisäksi jokaiselle U on olemassa V ympäristö, jolla V∘V ⊆ U, missä V∘V = { (x,z) : ∃y, (x,y) ∈ V ja (y,z) ∈ V }.

Uniformiteetti määrittää myös sen liittyvän topologian: ainoa joukko A ⊆ X on avoin, jos jokaisessa x ∈ A löytyy U ∈ Uniformiteetti niin, että U[x] ⊆ A, missä U[x] = { y ∈ X : (x,y) ∈ U }.

Esimerkkinä voidaan huomioida metriikkakielen mukainen uniformiteetti: jos (X,d) on metrinen tilan, niin Uε = { (x,y) : d(x,y) < ε } (ε > 0) muodostaa uniformiteetin, joka tuottaa saman topologian kuin metriikka.

Yhtenäinen jatkuvuus: funktio f: X → Y on yhtenäisesti (uniformisti) jatkuva, jos jokaiselle V ∈ Uniformiteetti_Y löytyy U ∈ Uniformiteetti_X siten, että (x,y) ∈ U ⇒ (f(x), f(y)) ∈ V. Yhtenäinen konvergenssi ja Cauchy-käsitteet ovat myös määritelty uniformiteetin avulla; epätodennettavissa olevaan tilanteeseen liittyy täydellisyys ja kompaktisuus uniformiteetin kontekstissa. Uniformiteetti on keskeinen käsite yleisessä analyysissä ja funktioanalyysissä.