Tsallisentropie

Die Tsallis-Entropie ist eine Verallgemeinerung der Boltzmann-Gibbs-Entropie, eingeführt 1988 von Constantino Tsallis im Rahmen der nicht-extensiven Thermodynamik. Sie soll Phänomene beschreiben, die durch lange Reichweiten, Gedächtnis oder komplexe Geometrien traditioneller Entropien nicht adäquat erfasst werden.

Für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung p_i lautet sie S_q = k_B (1 - ∑_i p_i^q)/(q - 1). Für kontinuierliche Dichten p(x) gilt S_q = k_B (1 - ∫ dx [p(x)]^q)/(q - 1). Im Grenzfall q → 1 ergibt sich die Boltzmann-Gibbs-Entropie S_BG = -k_B ∑ p_i log p_i.

Eigenschaften: Die Tsallis-Entropie ist im Allgemeinen nicht-additiv. Für unabhängige Systeme A und B gilt S_q(A,B) = S_q(A) + S_q(B) + (1 - q) S_q(A) S_q(B)/k_B; q = 1 liefert die additiv-extensive BG-Entropie.

Anwendungen und Verbindungen: Sie findet Anwendung in der nicht-extensiven Thermodynamik, bei Systemen mit Langreichweitenwechselwirkungen, Gedächtniseffekten, Turbulenz oder in Finanzdaten. Sie ist eng verknüpft mit dem q-Logarithmus und dem q-Exponential; außerdem besteht eine Beziehung zur Rényi-Entropie über eine Transformation.

Kritik: Diskussionen betreffen die theoretische Fundierung, die Interpretation des Parameters q und die Frage, ob der Tsallis-Formalismus in vielen Fällen gegenüber der BG-Statistik zu kompliziert ist oder nur empirisch angepasst wirkt. Trotzdem bietet er eine konsistente Rahmenbedingung für bestimmte komplexe Systeme.