Tridiagonaalne

Tridiagonaalne maatriks on ruutmaatriks, mille mitte-null elemendid paiknevad ainult peadiagonaalil, ülem-diagonaalil (superdiagonaal) ja alum-diagonaalil (subdiagonaal). Selline maatriks näeb välja järgmine:

A =

[ a1 b1 0 ... 0

c2 a2 b2 ... 0

0 c3 a3 b3 ...

... ...

0 ... cn an ]

kus a_i on peadiagonaal, b_i ülem-diagonaal ja c_i alum-diagonaal.

Sümmeetriline tridiagonaalne maatriks on juhul, kui b_i = c_{i} iga i puhul (peadiagonaal samaaegselt ka kõrvaldiagonaalidega). Toeplitzi tridiagonaalne maatriks on neil diagonaalidel konstantse väärtusega; tridiagonaalne võib olla ka üldine, kus diagonaalide elemendid erinevad.

Tridiagonaalsed maatriksid esinevad sageli ühenodaliste erinevuste ja piiratud erinevusmeetodite diskretiseerimisel, näiteks ühe mõõtme Poiss’i võrrandi lahendamisel ja teistes 1D põhiväljundite arvutustes. Need annavad sageli häid omadusi ja keerukus on väike: tridiagonaalse süsteemi lahendamine on tavaliselt O(n) ajaga, kasutades spetsiaalset Thomas’i algoritmi, mis on Gaussi eliminatsiooni erijuht tridiagonaalse struktuuri jaoks. Vajadusel võib mitterendidliku sümmeetrilise või mitte-sümmeetrilise juhtumiga kasutada ka üldiseid LU- või QR-põhiseid meetodeid, kuid tridiagonaalne vorm võimaldab märkimisväärset efektiivsust.

Näide: 4x4 tridiagonaalne maatriks, mille peadiagonaal on [2, 2, 2, 2] ja mõlemad kõrvaldiagonaalid on -1, näitab klassikalist stabiilset lahendust paljude rakenduste jaoks. Tridiagonaalne maatriks on ka piiratud graafide, näiteks tee-graafi P_n, adjunktsuse korral.