Topologioita

Topologioita on määritelmä matematiikan alueella, jolla organisoidaan, mitkä joukosta X löytyvät avoimina. Topologia T on T:hen kuuluvien alijoukkojen kokoelma, joka täyttää kolme perusideaa: ∅ ja X ovat avoimia, suljetaan joukonäiden yksoihin eli jokainen yliäänifunktio on avoin sekä T on suljettu ei-rajoitettuihin yhdislyihin ja rajallisiin leikkauksiin. Näillä ehdoilla T määrittelee, millaisia avoimia settejä X:llä on, ja sen perusteella voidaan tutkia monia asioita, kuten jatkuvuutta, konvergenciaa ja etäisyyksiä.

Esimerkkejä: Reaalilukujen R standard topology perustuu metriseen rakenteeseen d(x,y)=|x−y|; avoimia ovat summittain avointen intervalien yhdisteet. Diskreetti topologia antaa kaikista alijoukoista avoimia. Indisreetti tai epälineaarinen topologia sisältää vain ∅ ja X:in. Cofinite-topologia määrittelee avoimet joukot siten, että niiden komplementit ovat joko tyhjiä tai finiittejä.

Keskeiset käsitteet: Topologia mahdollistaa jatkuvuuden määritelmän. Funktio f:X→Y on jatkuva, jos f^{-1}(V) on avoin jokaisessa Y:n avoimessa V:ssä. Basis topologiassa on kokoelma B, jonka avulla avoimet setit ovat niiden jonoja; subbais topologiassa puolestaan muodostetaan afinisten leikkausten avulla perusta ja siitä sitten avaa.

Tärkeät ominaisuudet ovat erottuvuusehdot (T0, T1, Hausdorff-T2), kompaktisuus, yhteydellisyys ja yhteenkuuluvuus. Topologia muodostaa perustan monille matematiikan alueille – analyysiin, geometriaan sekä algebralliseen ja yleiseen topologiaan.