Topologierna

Topologierna är en gren av matematiken som studerar vilka egenskaper hos rum som bevaras under kontinuitet och deformationer. I denna kontext avses med topologi en samling T av delmängder av en mängd X som uppfyller vissa axiomen: ∅ och X tillhör T, varje union av en familj av mängder i T tillhör T, och varje finit snitt av mängder i T tillhör T. Paret (X, T) kallas ett topologiskt rum och mängderna i T kallas öppna mängder. Slutmängder definieras som komplement till öppna mängder.

Exempel på topologier finns det flera av. Den diskreta topologin på X har varje delmängd öppn; den indiscreta (eller triviala) topologin består endast av ∅ och X som öppna mängder. Den vanliga topologin på R är den topology som kommer från den standardmetriska strukturen d(x, y) = |x − y|, där öppna mängder är unioner av öppna intervall.

Viktiga konstruktioner inom topologi inkluderar subrumstopologi, där en delmängd A av X får en egen topologi T|A = {U ∩ A : U ∈ T}; produkt topologi på X × Y, som definieras så att ett öppet mängd är en union av produkter av öppna mängder i X och Y; samt kvottopologi som uppstår när man identifierar punkter av en mängd enligt en ekvivalensrelation.

Kontinuitet hos funktioner definieras som att preimage av varje öppen mängd i målmymden är öppen i startmängden. Två rum anses homeomorfa om det finns en bijektiv kontinuerlig funktion mellan dem vars inverse också är kontinuerlig; detta definierar en topologisk ekvivalens. Vanliga egenskaper som kompaktitet och sammanhängande uppträder ofta i studier av topologiska rum och deras applikationer inom analys, geometri och algebraisk topologi. Topologiernas fält har även bred användning inom bland annat fysik och datavetenskap.