Todennäköisyysdensiteettifunktion

Todennäköisyysdensiteettifunktio, lyhennettynä myös PDF (probability density function), on keskeinen käsite todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä. Se kuvaa jatkuvan satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyysjakaumaa. Toisin kuin diskreeteillä satunnaismuuttujilla, joiden kohdalla todennäköisyys määritellään yksittäisille arvoille, jatkuvilla satunnaismuuttujilla yksittäisen pisteen todennäköisyys on aina nolla. Sen sijaan todennäköisyysdensiteettifunktion avulla voidaan laskea todennäköisyys sille, että satunnaismuuttuja saa arvoja tietyllä välillä.

Tämä todennäköisyys saadaan laskemalla funktion integraali kyseisen välin yli. Toisin sanoen, jos X on jatkuva satunnaismuuttuja ja f(x) sen todennäköisyysdensiteettifunktio, niin todennäköisyys sille, että X saa arvon välillä [a, b], on P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a to b] f(x) dx. Todennäköisyysdensiteettifunktion on toteutettava kaksi ehtoa: sen arvo on aina epänegatiivinen (f(x) ≥ 0 kaikilla x) ja sen integraali koko reaaliakselin yli on yksi (∫[-∞ to ∞] f(x) dx = 1). Tämä viimeinen ehto varmistaa, että satunnaismuuttujalla on aina jokin arvo.

Erilaiset jakaumat, kuten normaalijakauma, eksponenttijakauma ja tasainen jakauma, määritellään omien todennäköisyysdensiteettifunktioidensa avulla. Näiden funktioiden muoto kertoo paljon jakauman ominaisuuksista, kuten sen keskittymisestä, levinneisyydestä ja symmetriasta.