Tilayhtälöiksi

Tilayhtälöiksi eli tila-yhtälöiksi tarkoitetaan dynaamisten järjestelmien matemaattista esitystapaa, jossa järjestelmä kuvataan tilanmuuttujien x sekä syötteiden u ja ulostulon y välisen dynamiikan avulla. Tämä muoto sopii sekä fysikaalisille että teknisille järjestelmille ja mahdollistaa monien erilaisten järjestelmien yhteisen käsittelyn.

Jatkuva-aikainen muoto muodostetaan tavallisesti dx/dt = Ax + Bu sekä y = Cx + Du, jossa x on tilamatriisi (tilakvintti), u on syöte, y on ulostulo ja A, B, C sekä D ovat neliö- tai oikean kokoisia asteikkoyksiköitä. A kuvaa tilojen välistä dynamiikkaa, B syötteen vaikutusta tiloihin, C tilojen vaikutusta ulostuloon ja D suoraa vaikutusta syötteestä ulostuloon.

Diskreetti-aikainen versio on x[k+1] = Ax[k] + Bu[k], y[k] = Cx[k] + Du[k], käytössä digitaalielektroniikassa ja tietokonesimuloinneissa. Tilayhtälöihin voidaan siirtyä usein muuttamalla korkeamman asteen differentiaaliyhtälöitä ensin-asteisiksi järjestelmiksi lisäämällä tilamuuttujia; esimerkiksi toisen asteen järjestelmä m x'' + c x' + k x = u voidaan asettaa x1 = x, x2 = x' ja kirjoittaa dx/dt = [ [0, 1], [-(k/m), -(c/m)] ] x + [0, 1/m]^T u, y = [1, 0] x.

Hyötyjä ovat modulaarisuus, suorituskyvyn analyysi (kontrolloitavuus ja havainnoitavuus), sekä yhteensopivuus nykyaikaisten ohjaus- ja estimointimenetelmien kanssa, kuten tilakontrollin ja Kalman-suodattimien kanssa. Transferointifunktio liittyy tilayhtälöihin kaavalla G(s) = C(sI − A)^{-1}B + D. Tilayhtälöiksi muodostaa siten yleisen kehyksen dynaamisten järjestelmien kuvaamiseen ja suunnitteluun.