Tikhonovregulaatiossa

Tikhonov regularisaatio on menetelmä, jota käytetään ratkaisemaan huonosti aseteltuja ongelmia, erityisesti niitä, jotka liittyvät lineaarisiin pienimmän neliösumman menetelmiin. Huonosti aseteltu ongelma on sellainen, jossa pienet muutokset syötteessä voivat johtaa suuriin muutoksiin tulosteessa, mikä tekee ratkaisusta epävakaan ja herkän kohinalle. Tikhonov regularisaatio pyrkii vakauttamaan ratkaisua lisäämällä regularisointitermin ratkaistavaan optimointiongelmaan.

Tämän menetelmän kehitti venäläinen matemaatikko Andrey Tikhonov. Sitä käytetään laajasti monilla tieteen ja tekniikan aloilla, kuten kuvankäsittelyssä, signaalinkäsittelyssä, koneoppimisessa ja inversio-ongelmien ratkaisemisessa. Idea on, että kun ratkaistaan epäyhtälöjärjestelmää Ax = b, jossa A on suuri tai huonosti ehdollistettu matriisi, Tikhonov regularisaatio muokkaa ongelmaa seuraavasti: ratkaistaan (A^T A + lambda*I)x = A^T b, missä I on identiteettimatriisi ja lambda on regularisointiparametri.

Regularisointiparametri lambda kontrolloi trade-offia mallin sovituksen ja regularisaation välillä. Pienet lambda-arvot antavat ratkaisun, joka sopii paremmin dataan, mutta voi olla epävakaampi, kun taas suuret lambda-arvot johtavat vakaampaan, mutta mahdollisesti vähemmän tarkkaan ratkaisuun. Lambda-arvon valinta on tärkeää ja tehdään usein ristiinvalidoinnilla tai muilla menetelmillä. Tikhonov regularisaatio auttaa saamaan realistisempia ja numeerisesti vakaampia ratkaisuja ongelmiin, jotka ilman sitä olisivat liian herkkiä tai ratkeamattomia.