Tensorianalyysi

Tensorianalyysi on matematiikan ala, joka tutkii tensoreita ja niiden ominaisuuksia. Tensorit ovat moniulotteisia taulukoita, jotka yleistävät skalareita (nollasulotteisia tensoreita), vektoreita (ensimmäisen kertaluvun tensoreita) ja matriiseja (toisen kertaluvun tensoreita). Tensoreilla on keskeinen rooli useilla fysiikan ja insinööritieteiden aloilla, kuten yleisessä suhteellisuusteoriassa, jatkumomekaniikassa ja sähkömagnetismissa.

Tensoreiden analyysi perustuu lineaarialgebran ja differentiaaligeometrian käsitteisiin. Se tarjoaa systemaattisen tavan käsitellä fysikaalisia suureita, jotka muuttuvat tunnetulla tavalla koordinaatiston muutoksessa. Tensoreiden avulla voidaan ilmaista fysikaalisia lakeja tavalla, joka on riippumaton valitusta koordinaatistosta. Tämä invarianttius on tärkeää, koska fysikaaliset lait ovat tosiasiallisesti olemassa olevia ja niiden muoto ei saisi riippua ihmisen valitsemasta kuvaustavasta.

Tensoreiden merkitsemiseen käytetään usein ylä- ja alaindeksejä, jotka osoittavat tensoreiden kovariantteja ja kontravariantteja komponentteja. Yleisessä suhteellisuusteoriassa tensorianalyysi on välttämätöntä avaruusaikaan liittyvien matemaattisten rakenteiden, kuten metriikkatensorin ja kaarevuustensorin, kuvaamiseen. Jatkumomekaniikassa tensorit kuvaavat esimerkiksi jännitystä ja venymää materiaaleissa. Tensoreiden laskenta ja muunnoskaavat ovat oleellisia näiden fysikaalisten ilmiöiden matemaattisessa mallintamisessa.

---