Täydellisyysrelaatio

Täydellisyysrelaatio on relaatio, joka liittyy matematiikan ja logiikan alaan, erityisesti joukko-oppiin ja järjestysrelaatioihin. Se kuvaa tilannetta, jossa jokaisella joukon alkioilla on tietyn relaation mukaisesti "täydellinen" vastine tai vastaava. Yksinkertaisemmin sanottuna täydellisyys relaatiossa tarkoittaa, että kaikille kahdelle joukon alkiolle voidaan määrittää, ovatko ne joko "suurempia", "pienempiä" tai "yhtä suuria" kyseisen relaation mukaan.

Tarkemmin määriteltynä täydellisyys relaatiolle R joukossa A tarkoittaa, että kaikilla a, b alkioilla joukossa A pätee joko a R b tai b R a (tai molemmat, jos relaatio on myös refleksiivinen). Tämä ominaisuus on keskeinen useiden matemaattisten rakenteiden ymmärtämisessä. Esimerkiksi kokonaislukujen joukko varustettuna tavallisella "pienempi tai yhtä suuri kuin" -relaatiolla on täydellinen, koska minkä tahansa kahden kokonaisluvun välillä voidaan aina sanoa, kumpi on pienempi tai ovatko ne samat.

Täydellisyysrelaatio on yksi useista ominaisuuksista, joita järjestysrelaatioille voidaan määritellä. Muita tällaisia ominaisuuksia ovat esimerkiksi refleksiivisyys, antisymmetrisyys ja transitiivisuus. Täydellisyyden lisäksi relaation on usein täytettävä myös nämä muut ehdot, jotta sitä voidaan kutsua täydeksi järjestykseksi. Täydellisyys on tärkeä käsite myös esimerkiksi relaatiotietokannoissa ja algoritmien suunnittelussa, joissa datan järjestys ja vertailtavuus ovat olennaisia.