Surjektivitet

Surjektivitet, eller onto-funktion, är en egenskap hos en funktion f: X → Y där varje element i målmängden Y har en förbild i domänen X. Formellt betyder detta att för varje y i Y finns det minst ett x i X such that f(x) = y. Bilden av f är därmed hela Y, och f är surjektiv om och endast om im(f) = Y.

Exempel: f: R → R, f(x) = x^3 är surjektiv eftersom varje y i R har ett x = y^(1/3). Däremot f(x) = x^2 från R till R är inte surjektiv, eftersom negativa y inte uppnås i bild. Ett annat exempel: f: N → N, f(n) = n + 1 är inte surjektiv eftersom talen 1 saknas i bild.

I ändliga mängder gäller särskilt att en funktion f: X → Y är surjektiv om varje element i Y har minst en förbild i X. Om X och Y är ändliga och lika stora, är surjektivitet likställd med injektivitet, vilket innebär att f är bijektiv.

Inom linjär algebra används begreppet surjektivitet för linjära avbildningar T: V → W. Här betyder surjektivitet att bild(T) = W, vilket är equivalent med att rank(T) = dim(W). Om V och W är ändligt dimensionerade och dim(V) = dim(W), är surjektivitet liktydigt med bijektivitet.

Notera att teoretiskt, under antagandet axiomet om val, varje surjektiv funktion har en högerinvers, alltså en funktion s:Y → X med f(s(y)) = y för alla y i Y. Detta kopplar surjektivitet till möjligheten att välja förbilden för varje y.