Spesialgrupper

Spesialgrupper er en betegnelse brukt i matematikk for grupper av transformasjoner eller matriser som oppfyller en ekstra egenskap utover det som følger av å være en generell lineær gruppe. Ofte refererer begrepet til grupper som består av matriser med determinant lik 1, og som dermed ligger i kjernen til GL(n, F), den generelle lineære gruppen. Slike grupper kalles ofte spesialgrupper eller spesialgrupper av GL.

Den klassiske konstruksjonen er spesiallineargruppen SL(n, F) = {A i GL(n, F) | det(A) = 1}, som består av alle n×n invertible matriser over feltet F med determinant 1. I tillegg til SL står også andre viktige spesialgrupper sentralt i Lie-teori og geometrisk gruppe­teori, blant annet spesialorthogonale gruppen SO(n), som inneholder ortogonale matriser med determinant 1; spesialenhetlige gruppen SU(n), som består av enhetlige matriser med determinant 1; og den spesialsymplektiske gruppen Sp(2n), som bevarer det symplektiske former og også har determinant 1.

Egenskaper: Disse gruppene er ofte Lie-grupper (over reelle eller komplekse felt) og har veldefinerte dimensjoner. Eksempelvis er dim SL(n) = n^2 − 1, dim SO(n) = n(n−1)/2, dim SU(n) = n^2 − 1, og dim Sp(2n) = n(2n+1). De spiller en sentral rolle i algebra, geometrisk struktur, og teoretisk fysikk, ved blant annet representasjonsteori og klassifisering av enkle Lie-grupper.

Se også: Gruppe, GL(n), Lie-gruppe, orthogonalgruppe, enhetlig gruppe, symplektisk gruppe.