Skalfunktioner

Skalfunktioner, eller scale functions, är en familj av funktioner W^{(q)} associerade till en spectrally negativ Lévy-process X. De utgör centrala verktyg i fluktuationsteori och används för att lösa exit- och första passage-problem, samt för att uttrycka förväntningar av diskonterade hitting-tider och liknande mått.

Definition och grundläggande egenskaper. Låt ψ vara Laplace-exponenten för X, dvs. ψ(λ) = log E[e^{λ X_1}]. För q ≥ 0 och Φ(q) den minsta λ ≥ 0 med ψ(λ) = q, finns en unik funktion W^{(q)}: [0, ∞) → [0, ∞) sådan att ∫_0^∞ e^{-θ x} W^{(q)}(x) dx = 1 / (ψ(θ) − q) för θ > Φ(q). Vi sätter W^{(q)}(x) = 0 för x < 0. W^{(q)} är vanligtvis kontinuerlig på [0, ∞) och ofta C^1 på (0, ∞) under milda antaganden. Värdet på nollpunkten W^{(q)}(0+) beror på processens variation: om X har obestämd variation är W^{(q)}(0+) vanligen 0.

Z-funktionen. En relaterad funktion definieras av Z^{(q)}(x) = 1 + q ∫_0^x W^{(q)}(y) dy. Dessa funktioner används tillsammans i exit-formlerna för fluktuationer.

Användningsområden och exempel. Skalfunktioner används för att lösa tvåsidiga exitproblem: för 0 ≤ x ≤ a gäller till exempel att E_x[e^{-q τ_a^+}; τ_a^+ < τ_0^-] = W^{(q)}(x) / W^{(q)}(a) och E_x[e^{-q τ_0^-}; τ_0^- < τ_a^+] = Z^{(q)}(x) − Z^{(q)}(a) W^{(q)}(x) / W^{(q)}(a), där τ_a^+ och τ_0^- är upp- resp. nedre hitting-tider. I praktiken används dessa uttryck inom riskteori och finans för att beräkna sannolikheter, förväntningar och prisingsparametrar. I speciella fall kan W^{(q)} och Z^{(q)} få enkla stängda former, medan allmänna fall kräver numeriska metoder eller transformtekniker.