Skalaarikertoimille

Skalaarikertoimille on termi, jota käytetään kuvaamaan lukua, jolla jotain määrää kerrotaan. Käytännössä skalaarikertoimina pidetään lukua, joka muuttaa mittasuhteita tai amplitudia, kun sitä sovelletaan vektoriin, matriisiin tai funktioon. Skalaarikertoimet ovat keskeinen osa lineaarialgebran käsitteistöä ja niitä esiintyy sekä teoreettisessa että soveltavassa matematiikassa sekä muissa tiedealoissa.

Perusominaisuudet: Jos c on skalaarikertoim ja u sekä v ovat vektoreita, niin c(u+v) = cu + cv. Samoin (c+d)u = cu + du ja (cd)u = c(du). Näin skalaarikertoimet määrittelevät lineaarisen muunnoksen. Matriisialgebrassa cA tarkoittaa saman kuin kertomista jokaisella matriisin A alkiolla; toisin sanoen cA on tulos, jossa kaikki A:n alkiot kerrotaan c:llä.

Normaali- ja spektrilogiikka: Jos v ≠ 0 ja c on skalaarinen, ||cv|| = |c| ||v||. Av = λv -tilanteissa, joissa v on nollasta poikkeava ja λ on skalaarinen arvo, v on eigenvektori ja λ sen eigenarvo.

Käyttökohteita: Skalaarikertoimia käytetään monipuolisesti grafiikassa esineiden skaalaamiseen, signaalinkäsittelyssä amplitudin säätöön, matemaattisissa malleissa ja lineaarialgebran laskuissa sekä dynamiikan ja fysikaalisten mallien skaalaamiseen.

Esimerkki: Oletetaan v = (1, 2, 3) ja skalaari c = 2. Tulos on cv = (2, 4, 6). Yleisesti skalaarit kuuluvat kenttään F, joka voi olla reaalilukuja tai kompleksilukuja.