Singulariteetteja

Singulariteetteja, pluralisiksi singulariteetteja, ovat pisteitä tai tiloja, joissa jokin matemaattinen rakenne ei käyttäydy kuten normaalisti tai ei ole määritelty. Termiä käytetään useilla alueilla, kuten matematiikassa, algebrallisessa geometriassa ja fysiikassa, sekä järjestelmissä joissa mallien rajoja tarkastellaan.

Matematiikassa singulariteetteja tarkastellaan erityisesti kompleksifunktioiden ja differentiaaliyhtälöiden yhteydessä: pisteessä, jossa funktio ei ole analyyttinen tai jossa sen käyttäytyminen muuttuu radikaalisti. Esimerkki: f(z) = sin(z)/z on määritelty kaikilla z ≠ 0, ja z = 0:lla voidaan määritellä f(0) = 1, jolloin singulariteetti poistuu. Toinen esimerkki on f(z) = 1/(z−z0), jossa z0 on piste, jossa funktio ei ole määritelty ja jonka lähellä arvot kasvavat rajatta.

Algebrallisessa geometriassa singulariteetti on piste varieteetissä, jossa sileä rakenne epäonnistuu: tangenttien määrä ei vastaa odotettua. Singulariteettien tutkiminen ja niiden ratkaiseminen, eli resoluutio, on keskeinen osa alueen teoriaa.

Fyysikassa singulariteetit esiintyvät yleisessä suhteellisuusteoriassa, joissa ne kuvaavat pisteitä, joissa avaruuden kaarevuus tai energian tiheys kasvaa rajatta. Tunnetuimpia esimerkkejä ovat mustan aukon sisäiset singulariteetit ja kosmisen alun, eli Big Bangin, äärimmäisyydet. Näiden ilmiöiden ymmärtäminen on vaikuttanut sekä teoreettiseen fysiikkaan että matematiikkaan.