Singulaarvektorid

Singulaarvektorid, sageli lühendatuna SVD, on lineaaralgebras põhimõtteline kontseptsioon, mis on seotud reaalse või kompleksse maatriksiga. SVD on maatriksdekompositsioon, mis jagab maatriksi kolme teise maatriksi produktiks. Täpsemalt, iga reaalse või kompleksse maatriksi A, mille mõõtmed on m x n, saab dekomponeerida kujul A = UΣV*, kus:

U on m x m ortogonaalne või unitaarne maatriks, mille veerud on vasakpoolsed singulaarvektorid. Need vektorid moodustavad ortonormaalse baasi maatriksi A veeruruumile.

Σ (Sigma) on m x n ristkülikukujuline maatriks, mis on diagonaalmaatriks. Selle diagonaalil olevad elemendid on A singulaarväärtused, mis on nullist suuremad või võrdsed ja tavaliselt järjestatud kahanevas järjekorras. Need singulaarväärtused kujutavad endast maatriksi A "tugevust" vastavates suundades.

V* (V Hermite'i või transponeeritud) on n x n ortogonaalne või unitaarne maatriks, mille veerud on parempoolsed singulaarvektorid. Need vektorid moodustavad ortonormaalse baasi maatriksi A reasruumile. V* veerud on V veerude transponeeritud või Hermite'i konjugaat.

SVD-d peetakse üheks kõige kasulikumaks dekompositsiooniks maatriksanalüüsis. Sellel on lai valik rakendusi, sealhulgas andmete tihendamine, pildi töötlemine, müra vähendamine, soovitusmootorid ja mitmesugused statistilised meetodid nagu peamine komponentanalüüs (PCA). Selles mängib olulist rolli mitmesuguste maatriksi omaduste mõistmisel, nagu selle rang, mõõtmed ja suurimad või vähimad lineaarteisendused.