Sfäärikoordinaatteja

Sfäärikoordinaatit ovat kolmiulotteinen koordinaattijärjestelmä, joka määrittelee pisteen sijainnin avaruudessa käyttäen etäisyyttä origosta ja kahta kulmaa. Se on analoginen kaksiulotteisille polaarikoordinaateille, mutta laajennettu kolmeen ulottuvuuteen. Kolme sfäärikoordinaattia ovat tyypillisesti säde (tai etäisyys origosta), polaarinen kulma (tai zenitkulma) ja atsimuuttikulma.

Säde, jota usein merkitään r:llä, on etäisyys origosta pisteeseen. Se on aina ei-negatiivinen luku. Polaarinen kulma, jota usein merkitään θ:lla, on kulma, jonka pisteen paikkavektori muodostaa positiivisen z-akselin kanssa. Se vaihtelee yleensä välillä 0–π radiaania (tai 0–180 astetta). Atsimuuttikulma, jota usein merkitään φ:llä, on kulma, jonka pisteen projektio xy-tasolle muodostaa positiivisen x-akselin kanssa. Se vaihtelee yleensä välillä 0–2π radiaania (tai 0–360 astetta).

Sfäärikoordinaattien ja karteesisten koordinaattien (x, y, z) välillä on selkeät muunnoskaavat. Karteesiset koordinaatit voidaan saada sfäärikoordinaateista seuraavasti: x = r sin(θ) cos(φ), y = r sin(θ) sin(φ), ja z = r cos(θ). Vastaavasti sfäärikoordinaatit voidaan saada karteesisista koordinaateista: r = √(x² + y² + z²), θ = arccos(z/r), ja φ = atan2(y, x), missä atan2 on kahden argumentin arkustangenttifunktio.

Sfäärikoordinaatteja käytetään usein fysiikassa ja matematiikassa, erityisesti kun käsitellään pyörähdyssymmetrisiä ongelmia, kuten pallomaisia aaltoja, painovoimakenttiä tai antennin säteilykuvioita. Ne yksinkertaistavat monien matemaattisten operaatioiden esittämistä ja laskemista verrattuna karteesisiin koordinaatteihin, kun ongelman luonne on pallomainen.