Sentralgrenseteoremet

Sentralgrenseteoremet er et grunnleggende resultat i sannsynlighetsteorien som sier at summen av et stort antall uavhengige, identisk fordelte tilfeldige variabler med forventning μ og varians σ^2 nærmer seg en normalfordeling når antallet variabler blir stort. For S_n = X1 + ... + X_n gjelder at (S_n − n μ) / (σ sqrt(n)) konvergerer i fordeling til en standard normalfordeling N(0,1) når n → ∞. Alternativt kan man se på prøvens gjennomsnitt X̄_n = S_n / n, og sqrt(n)(X̄_n − μ)/σ → N(0,1).

Mer generelt gjelder Lindeberg–Feller-teoremet for uavhengige variabler som ikke trenger å være identisk fordelt, under Lindeberg-betingelsen. Berry–Esseen-teoremet gir en grense på hastigheten av konvergensen: supremum over x av |P(Z_n ≤ x) − Φ(x)| ≤ C · E|X_i − μ|^3 / σ^3√n i den enkle i.i.d.-tilfellet, hvor Z_n er (S_n − n μ)/(σ√n) og Φ er standard normal-kumulativfordeling. For avhengige data kan sentralgrenseteoremet fortsatt gjelde under visse avhengighetsbetingelser (for eksempel blandede eller miksede sekvenser).

Bruksområder inkluderer tilnærming av fordelingen til middelverdier i store datasett, konstrukjon av konfidensintervaller og hypotesetesting, samt begrunnelsen for mange statistiske metoder og praksiser i naturvitenskap, ingeniørfag og samfunnsvitenskap. Begrensninger inkluderer behovet for finite forventninger og varians samt passende uavhengighets- eller avhengighetsbetingelser; tungt-tailed og sterkt avhengige data kan bryte teoremet.