Semilineaarinen

Semilineaarinen, suomen kielessä käytetty termi, viittaa matematiikassa asioihin, jotka ovat lineaarisia tavalla, joka on määritelty jonkin kentän automorfian kautta. Sana esiintyy sekä algebra- että analyysiyhteyksissä, ja sen tarkka merkitys riippuu kontekstista.

Algebrallinen semilineaarinen muunnos: Olkaamme V ja W vektori- tiloja kentällä F, ja sigma kentän automorfismi. Mappa f: V → W on semilineaarinen, jos se on additiivinen ja f(a x) = sigma(a) f(x) kaikille x ∈ V ja kaikille a ∈ F. Jos sigma on identiteetti, f on lineaarinen. Semilineaariset mapit säilyttävät siis yhteenlaskun, mutta skaalauksen sopeuttavat automorfian vaikutuksen mukaan. Yleinen esimerkki on kompleksilukujen konjugointi C → C: se on additiivinen ja (a z)̄ = ā z̄, joten se on semilineaarinen automorfian sigma = kompleksikonjugaatio kautta. Semilineaaristen automorfien ryhmä S on esimerkiksi ΓL(n, F) (semilineaarinen ryhmä) ja projektiorakenteissa PΓL esiintyy.

PDE- ja geometria-konteksti: Semilineaarinen termi kertoo myös, että korkein differentiaalialue esiintyy lineaarisesti, mutta matalamman asteen termit voivat olla epälineaarisia. Esimerkiksi yhtälö Δu + f(u) = 0 on semilineaarinen, kun Δ on lineaarinen suurin (toimiva) osatehtävä ja f riippuu vain funktiosta u eikä sen derivaattoista. Tämä ero on tärkeä, kun tarkastellaan ratkaisujen käyttäytymistä ja eksistenssiä.

Käyttöalueet: semilineaarisuus esiintyy algebrassa, projektio- ja geometriassa sekä analyysissä (PDE:t, ei-lineraaliset ilmiöt) ja liittyy usein automorfioiden ja ryhmien esiintymiseen. Keskeinen idea on lineaarisuuden säilyttäminen yhdellä automorfian kautta ja sen variaatio muiden skaalauksien suhteen.