Semidefiniittisyydellä

Semidefiniittisyydellä viittaa ominaisuuteen, joka liittyy neliöllisiin muotoihin ja symmetrisiin matriiseihin. Matematiikassa, erityisesti lineaarialgebrassa ja optimoinnissa, neliöllinen muoto on polynomi, jossa kaikki termit ovat toisen asteen termejä. Symmetrinen matriisi on neliömatriisi, joka on sama kuin sen transpoosi.

Neliöllinen muoto $Q(\mathbf{x})$ on semidefiniitti, jos se saa ei-negatiivisia arvoja kaikilla mahdollisilla syötteillä $\mathbf{x}$. Toisin sanoen, $Q(\mathbf{x}) \ge 0$ kaikille vektoreille $\mathbf{x}$. Vastaavasti symmetrinen matriisi $A$ on semidefiniitti, jos sille pätee $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} \ge 0$ kaikille vektoreille $\mathbf{x}$. Tämä tarkoittaa, että neliöllinen muoto, joka on määritelty matriisilla $A$, on semidefiniitti.

Positiivisesti semidefiniitti matriisi on tapaus, jossa $Q(\mathbf{x}) > 0$ kaikille nollasta poikkeaville vektoreille $\mathbf{x}$ tai $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$ kaikille nollasta poikkeaville vektoreille $\mathbf{x}$. Negatiivisesti semidefiniitti matriisi puolestaan takaa, että $Q(\mathbf{x}) \le 0$ kaikille vektoreille $\mathbf{x}$ tai $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} \le 0$ kaikille vektoreille $\mathbf{x}$. Matriisi, joka ei ole kumpaakaan, on indefiniitti.

Semidefiniittisyyden tarkistamiseksi voidaan käyttää matriisin ominaisarvoja. Symmetrinen matriisi on positiivisesti semidefiniitti, jos ja vain jos kaikki sen ominaisarvot ovat epänegatiivisia ($\ge 0$). Se on negatiivisesti semidefiniitti, jos ja vain jos kaikki sen ominaisarvot ovat ei-positiivisia ($\le 0$).

Semidefiniittisyyden käsite on keskeinen monissa optimointialgoritmeissa, kuten semidefiniittisessä ohjelmoinnissa, ja se esiintyy myös muilla matematiikan ja fysiikan aloilla.