Rækkeoperationer

Rækkeoperationer er operationer, der udføres på rækkerne af en matrix for at ændre formen uden at ændre løsningmængden af de tilhørende lineære ligningssystemer. De anvendes især i løsningen af systemer og i analyse af matrixens egenskaber som rækkeform og rank.

De tre grundlæggende typer rækkeoperationer er:

- Bytte to rækker: R_i og R_j kan veksles.

- Multiplicere en række med en ikke-nul konstant c: R_i := c R_i.

- Lægge en konstant gange en række til en anden række: R_i := R_i + c R_j, hvor c er en konstant.

Hver operation er reversibel og svarer til venstresidig multiplikation med en elementary matrix. Kombinationer af rækkeoperationer bruges til at omforme en matrix til rækkeform, såsom rækkeform (REF) eller reduceret rækkeform (RREF), hvilket letter løsningen af lineære ligninger og bedømmelse af uligheder og afhængigheder mellem rækker.

I praksis ændrer rækkeoperationer ikke løsningen af et system Ax = b, når de udføres på det tilhørende augmented matrix [A|b]. De bevarer også ranken af A, hvilket afgør systemets konsistens og antallet af løsninger. Hvis man anvender rækkeoperationer på [A|I] og A er invertibel, kan man nå [I|A^{-1}], hvilket giver den inverse matrix via Gauss-Jordan-elimination. Rækkeoperationer er derfor centrale i lineær algebra og i beregninger af løsninger, inverser og matrixers struktur.