Ruutmaatriks

Ruutmaatriks on maatriks, mille ridade arv on sama kui veergude arv. Seda nimetatakse tavaliselt n×n-maatriksiks, kus n on maatriksi järk. Maatriks A kirjutatakse kujul A = [a_ij], kus i ja j kuuluvad setti {1, ..., n}. Ruutmaatriks esitab lineaarset transformatsiooni R^n → R^n ning on keskne mõiste lineaaralgebras.

Olulised mõisted ja omadused: jälg (trace) on diagonaali elementide summa, st tr(A) = ∑_{i=1}^n a_ii. determinant on skalaars väärtus, mis määrab pööratavuse: det(A) ≠ 0 ⇒ A on pööratav ja eksisteerib A^-1. Diagonaalmaatriks on ruutmaatriks, kus kõik mitte-diagonaalsed elemendid on null; identiteedimaatriks I_n on diagonaalne maatriks, millel on 1-d diagonaalis ja ülejäänud nullid. Transponeerimine A^T tagastab ruutmaatriksi, mille elemendid on pööratud peadiagonaalile symmeetrix.

Ruutmaatriksid võivad olla erinevate omadustega: nende spektrit kirjeldavad eigenväärtused ja eigenvektorid, mis annavad teavet transformatsiooni mõju alamhulkadele. Inversioon (A^-1 olemasolu) kehtib siis, kui det(A) ≠ 0. Maatrikside korrutamine AB annab taas ruutmaatriksi ning A ja B puhul AB iseloomustab järjestikust transformatsiooni.

Näide: 3×3 ruutmaatriks A = [[1, 2, 0], [0, 3, 4], [5, 0, 6]] on näide kolmest dimensioonist ruutmaatriksist, mille mõõtmed on 3×3. Ruutmaatriks on fundamentaalne tööriist lineaaralgebras ja matemaatilises kirjanduses, mille abil kirjeldatakse ja analüüsitakse ruumide teisendeid.