Rotációmátrixok

Rotációmátrixok, más néven forgatási mátrixok, a lineáris algebrában olyan négyzetes mátrixok, amelyek egy vektor vagy pont forgatását írják le egy koordinátarendszerben. Ezek a mátrixok megőrzik a vektor hosszát és a benne foglalt szögeket, így izometrikus transzformációkat végeznek.

A forgatás egy adott tengely körül vagy egy adott pont körüli forgatást jelenthet. A leggyakoribb esetek a kétdimenziós és háromdimenziós forgatások.

Kétdimenzióban egy síkbeli forgatás egy pont körüli forgatást jelent. A forgatás iránya általában az óramutató járásával ellentétes, és egy szög, általában $\theta$ jelöli. A kétdimenziós forgatási mátrix, amely egy $\theta$ szöggel forgatja el a pontokat az origó körül az óramutató járásával ellentétes irányban, a következő:

$$

\begin{pmatrix}

\cos \theta & -\sin \theta \\

\sin \theta & \cos \theta

\end{pmatrix}

$$

Háromdimenzióban a forgatás történhet az x, y vagy z tengely körül. Minden tengelyhez tartozik egy specifikus forgatási mátrix. Például az x tengely körüli $\theta$ szöggel történő forgatás mátrixa:

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos \theta & -\sin \theta \\

0 & \sin \theta & \cos \theta

\end{pmatrix}

$$

A rotációmátrixok fontosak a számítógépes grafikában, a robotikában, a fizika szimulációiban és sok más tudományos és mérnöki területen, ahol a térbeli orientációk és a mozgások leírása elengedhetetlen.