Riemannintegrálhatóságra

Riemann-integrálhatóság a függvények azon tulajdonsága, hogy egy zárt intervallumon, általában [a,b], létezik Riemann-integrál. A legtöbb szöveg f-nek feltételezi, hogy f bounded legyen [a,b]-n, és a Riemann-integrál értelmezhető legyen.

Definícióval élve: legyen P = {a = x0 < x1 < … < xn = b} egy felosztás, és jelölju kisdarabjai: A_i = [x_{i-1}, x_i]. M_i = sup_{x∈A_i} f(x), m_i = inf_{x∈A_i} f(x). A felosztásnál felülről összegzett p=iU(f,P) = Σ M_i (x_i − x_{i-1}), alulról összegzett p_i L(f,P) = Σ m_i (x_i − x_{i-1}). Ha létezik olyan I, hogy minden ε > 0-ra található P ezzel U(f,P) − L(f,P) < ε, akkor f Riemann-integrálható és ∫_a^b f = I.

Különböző szemléletként az alsó és felső integrálok: L(f) = sup_P L(f,P) és U(f) = inf_P U(f,P). Ha L(f) = U(f) = I, akkor f integrálható és az érték I.

Történeti és gyakorlati megfontolások: a korlátozott f ([a,b]-n) Riemann-integrálható, ha a megszakadások halmaza nullmértékű (Lebesgue-szabály). Ennek alapján folytonos függvények mindig Riemann-integrálhatóak, és a Dirichlet-függvény (f(x)=1, ha x rational, 0, ha irracionális) nem integrálható. Példa: az indicator Cantor-készletre nullmértékű, így Riemann-integrálható, értéke 0.

Kapcsolat más integrál-fajtákkal: minden Riemann-integrálható függvény Lebesgue-integrálható, de fordítva nem mindig. Például a rationalokat jelölő függvény Lebesgue-integrálható 0-val, de nem Riemann-integrálható.