Regressionslinje

Regressionslinje beskriver sambandet mellan en oberoende variabel x och en beroende variabel y i enkel linjär regression. Den representeras av modellen y = β0 + β1 x + ε, där β0 är interceptet, β1 lutningen och ε felterm som fångar oobserverad variation. Regressionslinjen är den linje som bäst passar sammanhanget enligt metoden minsta kvadrater.

Vid uppskattning erhålls de skattade värdena β0_hat och β1_hat. Lutningen β1_hat beräknas som S_xy / S_xx där S_xy är summan av produkterna av avvikelser från medelvärdet och S_xx är summan av kvadrerade avvikelser i x. Interceptet β0_hat fås som ȳ − β1_hat x̄. Den förväntade värdet ŷ för given x är ŷ = β0_hat + β1_hat x, och residualen är e_i = y_i − ŷ_i.

Användning och tolkning: regressionslinjen används för att förutsäga y från kända x-värden samt att bedöma storleken och riktningen på sambandet. Lutningen β1 → förändringen i y per enhetsförändring i x. Konfidensintervall och hypotesprövningar kan göras för β0_hat och β1_hat.

Antaganden och diagnostik: modellen antas ha en linjär relation mellan x och y, oberoende observationer, homoskedasticitet ( konstant felvarians) och normalt fördelade fel för inferens. Diagnostik innefattar residualanalys, utlägs- och influenpoints.

Utvidgningar: i flera variabler används en regressionsyta eller ett hyperplan; icke-linjär eller logistisk regression används när relationen eller utfallsvariabeln inte passar enkel linjär modell. Regressionslinjen är grundläggande inom kvantitativ analys och prediktion.