Reaalijoukko

Reaalijoukko on matematiikan termi, jolla tarkoitetaan joukkoa, joka koostuu reaaliluvuista. Yleisesti sillä viitataan koko reaalilukujen joukkoon ℝ, mutta nimitystä käytetään myös kuvaamaan minkä tahansa reaaliluvuista koostuvaa alijoukkoa. Esimerkkejä reaalijoukoista ovat intervalleja kuten (a,b) ja [a,b], sekä suuremmat joukot kuten [0, ∞) tai (−∞,1).

Reaaliluvut muodostavat järjestetyn, täydellisen kentän, jonka etäisyys kahden luvun välillä on |x−y|. Tämä mahdollistaa sekä algebran että analyysin käytön ℝ:ssä. Rationaaliluvut ℚ ovat tiheästi ℝ:ssa, ja irrationaaliluvut muodostavat ℝ:n koostumuksen komplementin ℚ:sta. ℝ:n topologia voidaan määritellä avaavien joukkojen kautta.

Keskeisiä ominaisuuksia ovat, että ℝ on uncountable ja sen kardinaliteetti on continuum. ℚ on tiheä ℝ:ssa. ℝ on täydellinen eli jokainen Cauchy-jono realiluvuista konvergoi realiluvuksi. Näiden ominaisuuksien vuoksi ℝ:ää käytetään laajasti analyysissä, mittausteoriassa ja topologiassa.

Reaalijoukkoja käytetään useissa matematiikan osa-alueissa, kuten funktioiden raja-arvojen, integraalien ja mittausten määrittelyssä sekä erilaisissa analyyttisissä ja topologisissa tutkimuksissa.