Radiaalifunktio

Radiaalifunktio on funktio, jonka arvo riippuu ainoastaan etäisyydestä pisteestä origoon tai muuhun kiinteään pisteeseen. Toisin sanoen, jos funktiota merkitään $f$, ja pisteen paikkavektori on $\mathbf{x}$, niin $f(\mathbf{x})$ on sama kaikilla $\mathbf{x}$, jotka sijaitsevat samalla etäisyydellä origosta. Tämä etäisyys on usein määritelty euklidisena normina, eli $r = \|\mathbf{x}\|$. Tällöin radiaalifunktio voidaan kirjoittaa muodossa $f(r)$.

Radiaalifunktioita esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Ne ovat erityisen yleisiä pallosymmetrisissä ongelmissa. Esimerkiksi sähköstaattinen potentiaali pistevarauksesta on radiaalifunktio, joka riippuu kääntäen etäisyydestä. Samoin gravitaatiopotentiaali massiivisesta kappaleesta on radiaalifunktio.

Monissa yhteyksissä, erityisesti moniulotteisessa analyysissä, funktio $f(\mathbf{x})$ voidaan hajottaa säteittäiseen osaan ja kulmaosaan. Jos funktio on radiaalinen, kulmaosa on triviaali. Esimerkiksi kolmiulotteisessa pallokoordinaatistossa $(r, \theta, \phi)$, missä $r$ on etäisyys origosta, $f(r, \theta, \phi)$ on radiaalifunktio, jos se ei riipu $\theta$:sta tai $\phi$:sta.

Radiaalifunktioiden tutkiminen on tärkeää esimerkiksi kvanttimekaniikassa atomien elektronikuorien kuvaamisessa, koska potentiaalit ovat usein pallosymmetrisiä. Ne ovat myös keskeisiä osia monien differentiaaliyhtälöiden ratkaisuissa, kun niitä ratkaistaan pallokoordinaatistossa.