Pöörlemusrühmad

Pöörlemusrühm on matemaatiline rühm, mille liikmed on pöörlemised ruumis ning mille toiming on nende pöörlemiste järjekindel koostamine. Tavaliselt uuritakse rühma SO(n), erilise ortogonaalse rühma rühma, mis koosneb ruumis R^n toimivatest pöörlemistest, mille determinant on 1. SO(n) on pidev (Lie) rühm, mille elemendid moodustavad sujuva sümmeetriaallika ruumide jaoks.

Näited ja tähtsus: planeedil tasandil on pöörlemiste kogu SO(2), mis on isomorfne ringi grupiga U(1). Kolmemõõtmelises ruumis on SO(3) kõigi pöördete kogum; see on oluline näiteks füüsikas, arvutigraafikas ja robotiikas. Pöörlemised võivad olla kirjeldatavad telje-nurga kaudu või Euler'i nurkade abil; pöörlemisi saab sageli esitada eksponentaalamedi kaudu so(n) Lie algeebaga.

Struktuur ja teooria: SO(n) on Lie rühm ning selle dimentsioon on n(n−1)/2. Seda rühma seostatakse selle Lie algebra so(n) kaudu ning tihedalt tegeletakse ka katte-rühma Spin(n) mõistega. Finite alamhulgad SO(3) jagunevad peamiselt tsüklilisteks, dihedraalarühmadesse kuuluvateks ja Platoni kehade sünteetilisteks sümboliduiks, mille järgi on teada nende symmetria ametid: tsüklilised, dihedraalsed ning tetraeedra-, oktaeedra- ja ikooodra-rühmad (vastavalt A4, S4 ja A5).

Rakendused ja mõjud: pöörlemusringkonnad on keskseteks kontseptsioonideks mehaanikas ja fizikas, arvutigraafikas, binarsetes kujutistes ning molekulaargeomeetrias. Nad avaldavad mõju ruumist korrektse kolmemõõtmelise kujutise loomisele, z-koordinaadi ümberasendamisele ja kõigi ruumiliste muudatuste kirjeldamisele. Pöörlemusrühmade mõistmine võimaldab kirjeldada ja analüüsida sümmeetriaid ning ruumilisi transformaate.