Pöörlemismatrixid

Pöörlemismatrixid on ruumi Rn lineaarsetel algebras toimivad maatriksid, mis kirjeldavad pöörlemist. Pöörlemine on transformatsioon, mis säilitab pikkused ja nurgad, seega on pöörlemismatrixid ortogonaalsed ja nende determinant on 1. Täpne tingimus on RᵀR = I ja det(R) = 1; selliseid maatrikseid nimetatakse spetsiaalseteks ortogonalseteks maatriksideks ehk SO(n). Selline transformatsioon säilitab sisendi ristvõrrandi ning üldiselt moodustub ruumi pöörlemiste mõiste.

2D-pöörlemismaatriks

Pöörlemine tasandil by nurk θ on maatriks

R(θ) = [ [cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ] ].

See esindab punktide pöörlemist kahe mõõtme ümber origini. Pöörlemismaatriksid kipuvad korrutama vastavalt pöörlemiste järjekorrale, ehk R = R1R2 ... ei ole üldjuhul sama mis R2R1.

3D-pöörlemismaatriksid

Kolmemõõtmelises ruumis saab pöörlemist kirjeldada ümber ühe telje. Näited telgedele x, y ja z:

R_x(α) = [ [1, 0, 0], [0, cos α, −sin α], [0, sin α, cos α] ],

R_y(β) = [ [cos β, 0, sin β], [0, 1, 0], [−sin β, 0, cos β] ],

R_z(γ) = [ [cos γ, −sin γ, 0], [sin γ, cos γ, 0], [0, 0, 1] ].

Arvutustes kasutatakse sageli ka Rodrigues’ valemit, mis annab mooduli korraliku telje k ja nurga θ puhul pöörlemismatrixi R = I cos θ + (1 − cos θ) kkᵀ + [k]× sin θ.

Omadused ja operatsioonid

Pöörlemismatrixide pööramine on korrutamine: kui R ja S on pöörlemismaatriksid, siis nende koostis RS on samuti pöörlemismaatriks. Pöörlemisemise korral invers on R⁻¹ = Rᵀ. Pöörlemismaatriksid säilitavad inner producti ja tavaliselt kirjeldavad orientatsiooni muutust (det(R) = 1). Neid kasutavad laialdaselt arvutigraafikas, robotiikas, füüsikas ja inseneriteadustes.

Piirangud

Pöörlemisena käsitletakse transformatsiooni, mis toimub origini ümber. Pöörlemine ümber mõne muu punkti nõuab esmalt teisendust (translatsiooni) ja seejärel pöörlemist.