Præimageforskellen

Præimageforskellen er et begreb inden for matematik, der betegner forskellen mellem præimageerne af to delmængder af kodomænet under en funktion. Hvis f: X → Y er en funktion, og B1, B2 ⊆ Y, defineres præimageforskellen som f^{-1}(B1) \ f^{-1}(B2). Den består af alle elementer x i X, hvis billede ligger i B1, men ikke i B2.

Notationen følger præimage-definitionen: f^{-1}(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}. Derfor kan præimageforskellen også skrives som f^{-1}(B1 \ B2), idet fordelingsegenskaben f^{-1}(B1 \ B2) = f^{-1}(B1) \ f^{-1}(B2) gælder for alle B1, B2 ⊆ Y.

Egenskaber: Hvis B1 ⊆ B1', så f^{-1}(B1) ⊆ f^{-1}(B1'). Derfor følger monotoni og inklusionsrelationerne for præimageforskelle: f^{-1}(B1) \ f^{-1}(B2) ⊆ f^{-1}(B1') \ f^{-1}(B2). Hvis B2 ⊆ B2', får man også en tilsvarende virkning på forskellen.

Eksempel: Lad X = {1,2,3,4}, Y = {a,b}, og f med f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b, f(4)=b. Vælg B1={a} og B2={b}. Da er f^{-1}(B1)={1,2} og f^{-1}(B2)={3,4}. Præimageforskellen er {1,2} \ {3,4} = {1,2}, og dets alternative udtryk er f^{-1}(B1 \ B2) = f^{-1}({a}) = {1,2}.

Anvendelser og kommentarer: Præimageforskellen giver en måde at isolere dele af domænet, der mappe til bestemte dele af kodomænet uden at berøre andre dele. Den optræder naturligt i beviser og i analyse af fibrene til en funktion samt i sandsynligheds- og målingsteoretiske sammenhænge, hvor man arbejder med sandsynlighedsrum og måltal. Se også præimage, billede og mængdeforskellen.