Projektsioonimaatriksit

Projektsioonimaatriksid on ruutmaatriksid, mida kasutatakse vektorite projekteerimiseks alamruumi. Geomeetriliselt kujutavad nad peegeldust või projektsiooni punkti või vektori alamruumi. Projektsioonimaatriksil P on omadus, et P * P = P. See tähendab, et kui vektor juba asub projekteeritaval alamruumil, siis projektsioon ei muuda seda.

Projektsioonimaatrikseid saab konstrukteerida erineval viisil. Ortogonaalseks projektsiooniks alamruumi, mille aluseks on kolonni vektorid a1, a2, ..., ak, saab maatriksi koostada järgmiselt: P = A * (A^T * A)^-1 * A^T, kus A on maatriks, mille kolonni vektorid on a1, ..., ak. Kui alamruum on spanned mitte-lineaarselt sõltuvate vektorite poolt, siis A^T * A on pööratav. Kui vektorid on ortogonaalsed, siis A^T * A on diagonaalmaatriks ja pöördmatriisi leidmine on lihtsam.

Projektsioonimaatrikseid kasutatakse laialdaselt mitmesugustes rakendustes, sealhulgas lineaarses regressioonis, kus neid kasutatakse parimate sobivusparameetrite leidmiseks, ja andmetöötluses, kus neid kasutatakse andmete vähendamiseks ja mürasummutamiseks. Samuti ilmnevad nad signaalitöötluses ja arvutigraafikas. Projektsioonimaatriksi jälje (diagonal elementi summa) väärtus võrdub projekteeritud alamruumi dimensiooniga. Projektsioonimaatriksid on alati sümmeetrilised, kui tegemist on ortogonaalse projektsiooniga.