Potentiaaliteoriassa

Potentiaaliteoria on matematiikan osa-alue, joka tutkii potentiaaleja ja niihin liittyviä funktioita sekä niiden yhteyksiä sähkö-, gravitaatio- ja muihin fyysisiin ilmiöihin. Sen juuret ovat sähkö- ja gravitaatioilmiöissä, mutta ala on kehittynyt laajaksi analyysiksi, jossa keskeisiä ovat Laplace'n ja Poissonin yhtälöt sekä harmonisten funktioiden ominaisuudet.

Keskeisiä käsitteitä ovat potentiaali, joka ratkaisee Poissonin yhtälön Δu = f, sekä harmoninen funktio, jonka Laplace'n operaattori on nolla. Harmoniset funktiot esiintyvät tasapainotilanteissa ja niiden arvot määräytyvät usein ympäristön rajojen kautta. Tärkeitä työkaluja ovat Greenin funktio ja fundamentaalinen ratkaisu sekä Dirichletin ja Neumannin rajapyykiohjelmat. Balayage-tekniikkaa käytetään potentiaalin massan siirtämiseen ja erilaisten rajapintojen analysointiin.

Kapasi­teetti ja energia ovat keskeisiä käsitteitä. Kapasiteetti kuvaa järjestelmän kykyä varata potentiaalieroja, ja sitä sovelletaan tasapainotilanteiden sekä konduktorien ominaisuuksien kuvaamiseen. Energiat määritellään usein kaksoisintegraaleilla E(μ) = ∫∫ k(x,y) dμ(x) dμ(y), jossa k on potentiaalin ydin (Newtonin potentiaali 1/|x−y|^{n−2} n > 2, tai log|x−y| 2D:ssa). Näiden avulla määritellään tasapainomitat ja vastaavat minimointi- ja vakaan tilan ongelmat.

Sovellukset ulottuvat tasapainon ja kapasiteetin ongelmiin sekä rajapintojen ratkaisemiseen. Potentiaaliteoria yhdistää matematiikan tiiviisti kompleksianalyysiin ja stokastiikkaan, esimerkiksi Brownin liikkeen yhteyksiin sekä harmonisen mittauksen ja rajapintoihin liittyviin tuloksiin.