Potenciálfüggvények

Potenciálfüggvények olyan skalárfüggvények, amelyek gradiense egy adott vectormezővel F írható fel, azaz F = ∇φ. Ebben az értelemben a φ a F-nek nevezett potenciálfüggvény, amely a mező erőhatásait írja le többnyire energiaként vagy terhelt mennyiségek formájában. Ha létezik potenciálfüggvény, akkor a mező gyakran konzervatívnak vagy irrotáltnak tekinthető.

Ha F potenciálfüggvénnyel rendelkezik, akkor a görbe mentén végzett vonalintegrál F · dr az kiinduló ponttól a célpontig φ(b) − φ(a) értéket adja, és az út független. Ennek egyik feltétele, hogy ∇ × F = 0 legyen a domainon; egyszeresen összefüggő (vagy fél általánosan kontrahálható) tartományon ez a feltétel elegendő a potenciál létezésére. Bizonyos topológiai esetekben azonban a zártság és a régió szerkezete fontos tényező.

Kapcsolódóan a potenciálfüggvények gyakran felhasználhatók a Laplace-szabály alkalmazásában: ha a tér töltésmentes vagy tömegtelítettség nélkül van, φ eléggé gyakran megoldja a ∇²φ = 0 egyenletet, akkor felünbeli potenciálok és harmóniák kezelhetők. Fizikai példák: az elektrostatikában E = −∇V, ahol V az elektromos potenciál; a gravitációs mezőben g = −∇Φ, ahol Φ a gravitációs potenciál.

Példákos alkalmazásokban a potenciálfüggvények lehetővé teszik a bonyolult vektormezők energiainterpretációját, útfüggetlenséget és egyszerűbb numerikus megközelítéseket. Több területen használják az energiakoncepciók és a gradiensek összefüggéseit a problémák átalakítására.