Polynomimuunnokset

Polynomimuunnokset ovat muunnoksia, joissa polynomista saadaan uusi polynomiksi muuttamalla sen muuttujaa tai sen rakennetta säännöllisesti määritellyllä tavalla. Ne ovat keskeisiä työvälineitä polynomien tutkimisessa, kun halutaan tarkastella polynomin arvoja, nollia sekä graafin käyttäytymistä. Yleisiä muunnoksia ovat muuttujan lineaarinen muunnos sekä polynomin koostaminen toisen polynomin kanssa.

Yksi yleinen muunnos on lineaarinen muuttuja-a, b kanssa: p(ax + b), missä a ≠ 0. Tällainen muunnos ei yleensä muuta polynomin astetta, ja sen leading coefficient muuttuu kertoimella a^n, jos p onasteeltaan n. Toinen yleinen ryhmä on skaalaukset ja siirrot polynomin arvoissa, kuten c·p(x) tai p(x) → p(x) + d, jotka vastaavat grafiikan pystysuoraa skaalausta tai siirtoa. Kolmas tärkeä muunnos on koostuminen: p(q(x)), esimerkiksi q(x) = 2x + 1, jolloin deg(p∘q) = deg p · deg q.

Ominaisuudet vaihtelevat muunnoksen mukaan. Lineaarinen muunnos x → ax + b säilyttää usein mittasuhteet ja nollat siirtyvät, kun taas p(q(x)) lisää polynomin astetta kertolaskulla. Monesti muunnoksia tarkastellaan polynomirakenteen ja graafin muokkauksen kannalta sekä niiden vaikutusten kautta nollien ja johtavan termin ominaisuuksiin.

Käyttöalueita ovat nollien tutkiminen, graafin muokkaaminen ja tulkinta sekä algebra-geometrian konteksteissa automorfismien ja transformaatioiden tutkiminen, kuten affine-ryhmän toiminnot polynomieleillä.