Poissonmallit

Poissonmallit ovat tilastollinen malliperhe, jota käytetään ei-negatiivisten kokonaislukujen, eli tapahtumien määrien, mallintamiseen. Ne soveltuvat tilanteisiin, joissa havaintoja on lukumäärinä ja tapahtumien määrä vaihtelee riippuen erilaisista selittäjistä.

Yleisin muoto on Poisson-regressio: riippuva muuttuja Y noudattaa Poisson-jakaumaa λ, jolloin E[Y] = Var[Y] = λ. λ liittyy selittäjiin log-linkin kautta: log(λ) = Xβ. Jos kohteilla on erilaista altistusta, mukaan otetaan offset-term, esimerkiksi offset(log(exposure)). Tällöin λ = exposure × exp(Xβ), ja kertoimet kertovat tapahtumien tiheyttä koskevan muutoksen suhteessa.

Poisson-prosessi kuvaa tapahtumien sattumanvaraista esiintymistä jatkuvassa ajassa tai tilassa. Homogeenisessa Poisson-prosessissa tapahtumien taajuus on vakio; yksittäisten tapahtumien välinen aika on eksponentiaalijakautunut. Tämä malli liittyy usein tilastolliseen havainnointiin ajanjaksoissa, kuten aika- tai pinta-alayksiköissä.

Olettaa, että odotusarvo ja varianssi ovat yhtä suuria (equidispersion). Mikäli aineistossa esiintyy yli- tai ali-dispersiota, käytetään vaihtoehtoja kuten negatiivinen binomimalli, quasi-Poisson-malli sekä nolla-inflatoitu Poisson -malli.

Käyttökohteita ovat epidemiologia, ympäristötutkimus, ekologia, vakuutukset, liikenneonnettomuudet sekä palvelu- ja liikennemäärien ennusteet. Poissonmallit tarjoavat peruskehyksen määrälliselle analyysille, kun kyseessä on lukumäärädata ja tapahtumien tiheys riippuu selittäjistä.