Pitagorasztriplát

Pitagorasz-tripláknak vagy pitagorasz-tripláknak nevezzük azokat a pozitív egész számhármasokat (a, b, c), amelyek kielégítik a Pythagorasz-tételt: a^2 + b^2 = c^2. Gyakran a rendezés szerint a ≤ b < c feltételezést szokták megadni. Ezek a hármasok az egész számokra vonatkozó Pitagorasz-tétel megtestesítései.

Példák közé tartozik a (3, 4, 5), a (5, 12, 13) és a (8, 15, 17). A (6, 8, 10) nem primitív, mert minden tagja osztható 2-vel, tehát ez a (3, 4, 5) szorzata. Primitivekkel például (3, 4, 5) és (5, 12, 13) is ilyenek.

Gondolati alapja az Euclid-féle generálás: válasszunk m > n pozitív egész számokat, és tegyük a = m^2 − n^2, b = 2mn, c = m^2 + n^2. Ezzel a képlettel minden primitív Pitagorasz-triplát előállíthatunk, ha gcd(m, n) = 1 és m, n különböző paritásúak (azaz egyikük páros, a másik páratlan). A kapott a, b sorrendje is felcserélhető, c pedig mindig a legnagyobb.

Minden primitív triplát ki lehet terjeszteni a k szorzásával: (ka, kb, kc) adja a nem primitív triplákat. Összességében a pitagorasz-triplák végtelen számúak, és alapvető példái a diophantine egyenleteknek és a számelméletnek, különösen a kör egységnyi sugarú félnégyzetes pontjainak hasonlataiban.