Perusbasisissa

Perusbasisissa tarkoitetaan tilannetta, jossa vektoreiden koordinaatit esitetään vektoriavaruuden standardin (perusbasisin) mukaan. Tämä koordinaatistomuoto on yleisesti käytössä lineaarialgebrassa, kun halutaan ilmaista vektoreita ja lineaarisia muunnoksia mahdollisimman yksinkertaisella tavalla.

R^n:n perusbasis koostuu vektoreista e1, e2, ..., en, joissa kunkin vektorin i:llä on 1 kohdassa ja muut koordinaatit ovat 0. Esimerkiksi e1=(1,0,...,0), e2=(0,1,0,...,0) ja niin edelleen kohti en=(0,...,0,1). Näiden avulla mitä tahansa vektoria voidaan kirjoittaa yksinkertaisessa muodossa v = v1 e1 + v2 e2 + ... + vn en, jolloin v:n koordinaatit perusbasisissa ovat (v1, v2, ..., vn).

Käytännössä perusbasisin koordinaatit kertovat, miten vektori näkyy suoraan koordinaatistossa, jossa kukin ulottuvuus vastaa yhtä koordinaattia. Tämä on erityisen kätevää lineaaristen muunnosten ja matriisien reprezentoinnissa, koska perusbasisin tapauksessa matriisi usein vastaa muunnoksen toimintaa suoraan kyseisessä koordinaatistossa.

Muun basisin tapauksessa koordinaatit voivat muuttua. Jos B = {b1, ..., bn} on jokin toinen basis, v voidaan ilmaista sekä perusbasisissa koordinaateissa (v1, ..., vn) että B-koordinaatteissa (x1, ..., xn). Koordinaattimuunnos B:stä perusbasisin avulla saavutetaan kirjoittamalla v = sum xi bi ja laskemalla koordinaatit.

Esimerkki: v = (3, -2, 5) R^3:ssä on perusbasisissa koordinaatit (3, -2, 5), koska v = 3 e1 - 2 e2 + 5 e3. Perusbasisissa laskeminen on siis suoraa ja yleisesti käytetty tapa ilmaista vektoreita ja niiden lineaarisia muunnoksia.