Parametrizzazione

La parametrizzazione è una rappresentazione di un oggetto geometrico o di una funzione mediante parametri, anziché mediante descrizioni esplicite delle coordinate. In pratica si esprime una curva, una superficie o un campo come una funzione di uno o più parametri, di solito t o (u,v). Il parametro può avere un significato geometrico o temporale, oppure essere una variabile ausiliaria impiegata per descrivere l’oggetto.

Esempi tipici: una curva nel piano può essere data da x = f(t), y = g(t) con t in un intervallo I. Una circonferenza di raggio r si parametrizza con x = r cos t, y = r sin t (t ∈ [0, 2π)). Una retta può essere scritta come x = x0 + a t, y = y0 + b t; una parabola y = ax^2 può essere parametrizzata prendendo x = t, y = a t^2.

Proprietà e scopi: la parametrizzazione non è unica; diverse scelte di parametri descrivono lo stesso oggetto. Una parametrizzazione è regolare se le derivate rispetto al parametro non sono entrambe nulle, e l’arco di curva si ottiene tramite ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt. È comune ri-parametrizzare con funzioni monotone per modificare la velocità di percorrenza.

Superfici e dimensioni superiori: per superfici nello spazio si usano due parametri u e v, espressi come r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)). In analisi differenziale si parla di atlas e carte: una parametrizzazione è una mappa locale dalla regione di parametro alla superficie. In algebra geometrica si considerano parametrizzazioni razionali, ad es. una conica può essere descritta tramite coordinate razionali.

Applicazioni: in grafica computeristica, la parametrizzazione è fondamentale per texture mapping (UV mapping) e per la discretizzazione delle superfici; in fisica e ingegneria facilita l’analisi di traiettorie, integrazioni e simulazioni.